Если откладываемая на оси диаграммы величина N изменяется в широком диапазоне, то применяют логарифмическую шкалу (рисунок 5.12). В проектах наиболее часто в логарифмическом масштабе откладывают частоту на амплитудно-частотных, фазочастотных характеристиках, напряжения на амплитудных характеристиках усилителей и др. Для построения логарифмических шкал применяют систему десятичных логарифмов. Отрезок шкалы, на котором величина изменяется в десять раз, называют декадой. Линии, разграничивающие декады, делают толще.

Используемая для построения шкалы мера l пропорциональна логарифму откладываемой на оси величины N.

,

где М - масштабный коэффициент шкалы, равный длине декады.

Если на оси диаграммы длиной L нужно разместить т декад, то, очевидно, M=L/m. На логарифмической шкале указывают не логарифм числа, а само число. Шкала начинается с числа 10 n , где п - нуль или любое целое число. Разработка логарифмической шкалы сводится к разработке первой декады, так как вся шкала состоит из ряда декад, отличающихся лишь тем, что числа шкалы каждой последующей декады увеличены на один порядок по сравнению с предыдущей (см. рисунок 5.12). Шкала в пределах декады должна быть оцифрована равномерно, а количество чисел на шкалах декад - одинаково.

При расчете и анализе систем автоматического регулирования применяют логарифмические амплитудно-частотые характеристики (ЛАХ), на осях абсцисс которых откладывают логарифмы частоты, а на осях ординат-логарифмы относительных амплитуд. Логарифмические характеристики имеют то преимущество, что для многих простых систем их приближенно аппроксимируют отрезками прямых, а перемножение двух передаточных функций сводится к сложению ординат двух логарифмических амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик.

6.Основные виды чертежей дипломного проекта и правила их выполнения

6.1. Размещение чертежей на бумажном листе

Форматом чертежа называют размер обрезанного листа бумаги, на котором выполнен чертеж (табл. 6.1).

Таблица 3.1.

Примечание: при необходимости допускается применять формат А5 с размерами сторон 148×210 мм.

Листы формата Al делят (не разрезая) на более мелкие форматы, разграничивая их тонкими линиями обреза или делительными штрихами длиной 7-10 мм, наносимыми на углах выделяемых форматов (рисунок 6.1). Внутри формата проводят рамку, оставляя с трех сторон поля шириной 5 мм, а с четвертой стороны, которой чертеж может вставляться в корешок при брошюровании,- поле шириной 25 мм.

Рисунок 6.1. Выделение форматов и нанесение рамок на бумажном листе

При рассматривании чертежа поле для брошюрования должно находиться слева от рабочего поля. У формата А4 поле для брошюрования оставляют на длинной стороне.

Выбирая формат и масштаб, следует учитывать, что нормально заполненным считают такой чертеж, на котором графические изображения занимают не менее 75% его рабочего поля.

Потоки световой энергии, падающей на сетчатку нашего глаза от Солнца и от звезд, различаются во многие миллиарды раз! Но глаз видит и то, и другое . Ни один технический измерительный прибор не имеет такого широкого диапазона чувствительности. Чтобы производить измерения, применяются специальные усилители или «ослабители» (фильтры) сигнала, а наш глаз справляется с этой проблемой сам. И не только глаз. Мы слышим писк комара и рев авиалайнера, а ведь их звуковое давление тоже различается в миллиарды раз. Как же работают в столь широком диапазоне наши чувства? Оказывается, они используют одну «математическую хитрость» — преобразование измерительной шкалы.

В быту, как правило, мы используем для измерения различных величин линейные шкалы : для измерения длины - метры, мили и футы, для указания веса - граммы, тонны и фунты, а также градусы Цельсия или Фаренгейта - для температуры. В науке диапазон измерений значительно шире, чем в быту, поэтому ученые часто оперируют порядками величин, записывая числа в так называемой научной символике, обозначаемой на калькуляторах как «scientific notation». Например, вместо 56000 пишут 5,6 ´ 10 4 . По существу, это логарифмическая запись, хотя в показателе степени обычно оставляют только целую часть логарифма, а мантиссу - дробную часть логарифма - записывают в виде десятичной дроби. Это удобно: целый показатель степени сразу указывает область измерения - «порядок величины». В нашем примере запись «10 4 » говорит о том, что речь идет о десятках тысяч. Десятичная дробь уточняет значение числа, причем количество цифр в ней обычно соответствует точности измерения, и запись «5,6» указывает, что точность измерения, вероятно, была около 1%.

Неосознанно мы очень часто используем такое представление чисел и в быту. Говоря: «Три с половиной миллиона», или пользуясь сокращенной записью «3,5 млн», мы фактически пользуемся научной нотацией (3,5 ´ 10 6). И, как оказывается, наша неявная склонность к логарифмическому представлению чисел имеет глубокое физиологическое обоснование: дело в том, что различные органы чувств в нашем теле тоже пользуются логарифмическими шкалами.

По-видимому, впервые это заметил французский физик Пьер Бугер (Pierre Bouguer , 1698-1758), обнаруживший в опытах с освещенными экранами, что глаз фиксирует относительное различие яркости поверхностей. А в виде четкого правила это открытие сформулировал немецкий физиолог Эрнст Вебер (Ernst Heinrich Weber , 1795–1878), изучавший мышечную и кожную чувствительность. Он установил, что мы воспринимаем не абсолютное, а относительное изменение силы раздражителя. Например, если в руке у вас гирька весом в 10 г, то вы уверенно ощущаете добавку к ней ещё такого же веса; но если вы держите вес в 10 кг, то добавление к нему 10-граммовой гирьки вы не ощутите. Позже это подтвердилось и для других органов чувств - зрения, слуха, вкуса. Выяснилось, что наша чувствительность относительна, и разрешающая способность органов чувств обычно составляет несколько процентов.

В 1858 году немецкий физик и психолог Густав Фехнер (Gustav Theodor Fechner , 1801–1887) сформулировал это математически: интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Этот закон называется законом Вебера-Фехнера, или основным психофизическим законом. Нередко его формулируют так: «При изменении силы раздражителя в геометрической прогрессии, интенсивность ощущения меняется в арифметической прогрессии». Разумеется, область справедливости этого правила не безгранична; оно остается верным для раздражителей не слишком слабых (выше порога чувствительности) и не слишком сильных (ниже болевого порога).

Биологические механизмы реализации закона Вебера-Фехнера пока ещё не до конца ясны. Поэтому мы лишь отметим, как эта особенность нашего восприятия проявляется в науке и технике. Некоторые общепринятые логарифмические шкалы, определяемые выбором коэффициентов пропорциональности, приведены в таблице.

Таблица . Логарифмические шкалы

Взаимное соответствие между ними такое: 1 dex = 1 B = 10 dB = –2,5 mag » 2,303 exp. Заметим, что во всех этих шкалах значок после числа указывает не физическую размерность величины, а тип шкалы. Во всех логарифмических шкалах выражается отношение двух одноименных физических величин. Поэтому запись «0,5 dex» может означать как рост в 3,16… раза годового дохода компании (скажем, с 86 до 272 млн руб.), так и увеличение в 3,16… раза среднего удоя коров на ферме (скажем, с 1500 до 4750 литров в год).

Громкость и высота звука - белы, децибелы, октавы

В шкале обычных десятичных логарифмов единица измерения называется бел в честь американского изобретателя телефона Александера Белла (Alexander Graham Bell , 1847–1922). Чаще применяется её десятая часть - децибел. Обе единицы в основном используются в акустике для измерения уровня интенсивности звука и звукового давления, а также в электротехнике. Разность уровней в 1 дБ означает отношение в 10 0,1 =1,2589… раз. Три децибела почти точно означают удвоение. В акустике за ноль-пункт принимают еле слышимый звук (давление около 2 ´ 10 –5 Н/м 2 ), так что при уровне громкости в 90 дБ звуковое давление на барабанную перепонку в миллиард раз больше, чем при едва уловимом шепоте.

Однако у единиц бел и децибел есть особенность, затрудняющая их применение за пределом акустики и электротехники. Дело в том, что эти логарифмические шкалы определяются по-разному для разных физических величин. Введенное выше определение используется только для «энергетических» величин, к которым относятся мощность, энергия, поток энергии… А для «силовых» величин (напряжение, сила тока, давление, напряженность поля…) используется иное определение бела и децибела , поскольку, к примеру, интенсивность звука (поток энергии) и звуковое давление связаны соотношением I ~ p 2 . Неоднозначность белов и децибелов делает более удобной единицу dex, которая применяется всё чаще.

Если амплитуду звуковой волны мы воспринимаем как громкость, то её частоту воспринимаем как высоту звука. И в этом случае справедлив закон Вебера-Фехнера: разные звуки воспринимаются нами как равноотстоящие по высоте, если равны отношения их частот. Для измерения музыкальных интервалов применяются логарифмические единицы. Основная среди них - октава, интервал между двумя звуками, частота одного из которых вдвое больше частоты другого. Понятие октавы становится всё более популярным и за пределом музыкальной сферы, поскольку числа вида 2 n широко используются в импульсной электронике, в частности, в вычислительной технике . Правда, в этих областях слово октава обычно заменяют словом бит (двоичный разряд).

Яркость источников света - шкала звездных величин

Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах . Это безразмерная величина, характеризующая освещенность, создаваемую небесным объектом вблизи наблюдателя. Как видим, словом блеск астрономы характеризуют зрительное восприятие, не совсем совпадающее с тем, что принято в быту. Блеск одного источника указывают путем его сравнения с блеском другого, принятого за эталон . Такими эталонами обычно служат специально подобранные звезды.

Основанием шкалы звездных величин служит корень пятой степени из 100. Это дань исторической традиции, не имеющая какого-либо рационального оправдания. Для целей астрономической фотометрии вполне хватило бы белов, но звездные величины родились гораздо раньше, и теперь от них трудно отказаться. Обозначают звездную величину латинской буквой «m» (от лат. magnitudo - величина). Среди странностей этой шкалы есть ещё одна - её направление обратное: чем больше значение звездной величины, тем слабее блеск объекта. Например, звезда 2-й звездной величины (2 m ) в 2,512 раза ярче звезды 3-й величины (3 m ) и в 2,512 ´ 2,512 = 6,310 раза ярче звезды 4-й величины (4 m ), и т.д.

Химическая чувствительность - шкала кислотности

Очень близка к шкале звездных величин и химическая шкала реакции среды, так называемая шкала кислотности . Напомню, что известный школьникам и всем, кто пользуется косметикой , водородный показатель pH определяется соотношением: pH = – lg , где - концентрация положительных водородных ионов в растворе. При этом за ноль-пункт принимают чистую воду при комнатной температуре (нейтральная среда), имеющую =10 –7 . Далее при повышении кислотности значение pH уменьшается - чем не шкала звездных величин? Чем выше кислотность, тем ниже значение индекса, только основанием логарифма служит не 2,512… (как у звездных величин), а 10.

Как известно, первыми химическими индикаторами были наши вкусовые рецепторы , которыми сегодня пользуются только повара, а раньше пользовались и химики. Поэтому не удивительно, что в химии появилась логарифмическая шкала концентрации: сработал закон Вебера-Фехнера, которому подчиняются все наши чувства, в том числе и органы вкуса.

Восприятие психических явлений - шкала эмоций

На нескольких примерах мы убедимся, что не только физиологические, но и психические шкалы, определяющие силу наших эмоций, также имеют логарифмический характер: для своих субъективных оценок произведенного на нас впечатления мы подсознательно выбираем «ступеньки» в виде геометрической прогрессии.

В качестве общеизвестного примера начнем со «шкалы Ландау», по которой наш знаменитый физик оценивал заслуги своих коллег. Вот как об этом вспоминает академик В. Л. Гинзбург: «… Ландау имел «шкалу заслуг» в области физики. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков нашего века класс 0,5 имел только Эйнштейн , к классу 1 относились Бор , Дирак, Гейзенберг и ряд других…»

Другие ученики великого физика рассказывают о шкале Ландау немного иначе: «Ландау присваивал великим ученым-физикам всего мира «звездные» номера. Вы знаете, что звезда первой величины - это очень яркая звезда, звезда второй величины - менее яркая и т.д. Эйнштейну, Бору и Ньютону Ландау присвоил половинную величину - 0,5. Дирак, Гейзенберг - это звезды первой величины. Себе он присваивал вторую величину».

Остается неясным, логарифм по какому основанию - 10 или 2,512… - использовал Лев Ландау для определения уровня гениальности физиков-теоретиков. Несомненно лишь одно: для этих сугубо эмоциональных, субъективных оценок он использовал логарифмическую шкалу.

Я уже отмечал, что в быту мы тоже нередко используем шкалу логарифмов. Примеры можно приводить долго. Так, богатых людей мы делим на миллионеров и миллиардеров. Города делим по населению на миллионные и стотысячные. Покупая продукты в магазине, стараемся экономить рубли, а задумываясь о покупке нового холодильника или телевизора, обращаем внимание лишь на сотни рублей. Как и в случае физиологических шкал, в бытовых эмоциональных вопросах мы воспринимаем не абсолютное, а относительное различие. При этом оно становится для нас заметным и значимым, когда превышает несколько процентов от измеряемой величины. Похоже, что чувствительность нашего «измерителя эмоций» близка к чувствительности глаза, уха и прочих физиологических рецепторов.

Рассмотрим одну из «эмоциональных» шкал, предложенных в последние годы.

Туринская и палермская шкалы астероидной опасности

В целом шкала Бинзела подобна шкале Рихтера , используемой сейсмологами для указания энерговыделения при землетрясениях. Обе они вполне доступны пониманию неспециалистов, в чём и заключается их несомненная польза. Туринская шкала позволяет классифицировать астероиды и другие небесные тела (с учетом их размера и скорости относительно нашей планеты) по 11 уровням степени их опасности для землян. Она учитывает не только вероятность столкновения астероида с Землей, но и потенциальные разрушения, к которым может привести катастрофа .

Как видно из таблицы, к нулевой категории отнесены те объекты, о которых с уверенностью можно сказать, что они не достигнут поверхности Земли; к первой - те, что всё же заслуживают внимательного слежения; ко второй, третьей и четвертой отнесены малые планеты, вызывающие оправданное беспокойство. В пятую-седьмую категории включены тела, явно угрожающие Земле, а объекты из последних трех несомненно столкнутся с нашей планетой, причем последствия для её биосферы могут быть локальными, региональными или глобальными. Туринская шкала оказалась полезной для классификации и объяснения публике возможных последствий космических столкновений. Хотя она не содержит четких количественных критериев, всё же можно заметить, что с переходом к следующему баллу, эмоциональное напряжение возрастает «на порядок».

Таблица. Туринская шкала опасности столкновения Земли с астероидами и кометами

Количественно это подтвердилось в недавно опубликованной профессиональной версии Туринской шкалы, названной Палермской шкалой опасности столкновения (Palermo Technical Impact Hazard Scale). Вместо баллов в ней используется непрерывный индекс PS (от Palermo Scale), определенный в виде логарифма отношения ожидаемой вероятности столкновения с конкретным объектом на интервале расчетного времени к фоновой вероятности столкновения с подобными объектами за это же время. Таким образом, степень страха метеоритной опасности также имеет логарифмический характер.

Как видим, свойственный человеческой физиологии и психике логарифмический закон расширяет динамический диапазон наших органов чувств, притупляя их реакцию на сильные раздражители и тем самым отодвигая болевой порог. Очевидно, в течение миллионов лет это способствовало выживанию вида Homo sapiens. Вопрос в том, не окажется ли это свойство нашей психики роковым для человечества в современную эпоху.

Новости партнёров

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА

(logarithmic scale) Шкала на диаграмме, где единицей измерения выступает значение логарифма переменной. Логарифмические шкалы используются прежде всего в диаграммах, в которых на одной, обычно горизонтальной шкале показано время, а на вертикальной оси – некая реальная или номинальная переменная, например ВВП или уровень цен. Угол наклона кривой в подобной диаграмме показывает пропорциональные темпы роста переменной, а постоянная пропорциональная тенденция роста представлена в виде прямой линии. Если на обеих осях используются логарифмические шкалы, то угол наклона кривой пропорционален ее эластичности. Ни нуль, ни отрицательные числа не могут быть показаны на логарифмической шкале. На обоих графиках (рис. 19) горизонтальные оси показывают время, а вертикальные оси обозначают реальный ВВП воображаемой страны. Рис. 19: Логарифмические шкалы На графике 1 используется натуральная шкала; на графике 2 используется логарифмическая шкала. Предполагается, что в этой стране происходят сменяющие друг друга экономические подъемы, каждый из которых продолжается пять лет, и кризисы, каждый из которых продолжается два года. График 1 позволяет апологетам правительства утверждать, что его политика экономического роста имеет успех, поскольку экономический рост в каждом последующем цикле увеличивается. В то же время он позволяет критикам правительства утверждать, что экономические циклы становятся все более тяжелыми, демонстрирующими некомпетентность политики стабилизации правительства. График 2 показывает ошибочность утверждений обеих сторон. В действительности экономический рост замедляется, но колебания в рамках цикла также становятся менее серьезными. (Цифры были подобраны таким образом, чтобы во время подъемов экономика последовательно увеличивалась на 100, 90, 80% и т.д. и во время кризисов последовательно сокращалась на 10, 9, 8% и т.д.)

• - специальным образом разграфленная бумага; обычно изготовляется типографским способом: на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел и и v...

  Математическая энциклопедия

• - см. в ст. Емкость...

  Математическая энциклопедия

• - спец. образом разграфлённая бумага, обычно изготовляется типографским способом: на каждой из осей пря-моуг. системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел х и у, а затем через найденные точки...

• Естествознание. Энциклопедический словарь

• - счётный инстр-т для упрощения вычислений, с помощью к-рого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Предназначена для инж. и пр. расчётов, когда достаточна точность в 2-3 знака...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - предложена Батуриным для гранулометрического анализа песчано-алевритовых п. Членами Ш.γ являются десятичные логарифмы размеров фракций, увеличенные в десять раз и взятые с обратным знаком: γ = -10lgε...

  Геологическая энциклопедия

• - специальным образом разграфленная бумага, обычно изготовляется типографским способом: на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел х и у, а прямые, параллельные осям....

  Большой экономический словарь

• - "...Шкала, построенная на основе систем логарифмов. Примечание. Для построения логарифмических шкал обычно используются системы десятичных или натуральных логарифмов, а также система логарифмов с основанием два.....

  Официальная терминология

• - "...Логарифмическая шкала измерений, получаемая логарифмическим преобразованием абсолютных шкал, когда в выражении L = log Х под знаком логарифма Х - безразмерная величина, описываемая абсолютной шкалой. Примечание...

  Официальная терминология

• - счётная линейка, - инструмент для приближённых вычислений, с помощью к-рого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Обычная Л. л. состоит из корпуса, движка и прозрачного бегунка,...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - см. Боевая локсодромия...

  Морской словарь

• - специальным образом разграфленная бумага; обычно изготовляется типографским способом...
• - счётная линейка, инструмент для несложных вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над Логарифмами этих чисел. Л. л. состоит из корпуса, движка и бегунка, имеющего...

  Большая Советская энциклопедия

• - ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ бумага - специальным образом разграфленная бумага, обычно изготовляется типографским способом: на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел x и y, а...
• - то же, что логарифмика...

  Большой энциклопедический словарь

• - ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ линейка - счетный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел...

  Большой энциклопедический словарь

"ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА" в книгах

ГЕОХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ ШКАЛА